Kumpulan\Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap

Pada postingan kali ini saya akan mencoba merangkum rumus-rumus trigonometri, jadi pada postingan ini pembahasan materi tidak begitu terperinci, dan tidak disertai dengan contoh, hanya berisi rangkuman rumus trigonometri sebagai "pegangan", mengingat rumus-rumus ini seringkali kita gunakan dalam berbagai bab/materi seperti turunan trigonometri, limit trigonometri, integral trigonometri, dan sebagainya.

Pengukuran sudut dengan derajat dan radian

Ada dua jenis satuan pengukuran sudut yaitu derajat dan radian. Derajat dinotasikan dengan $^\circ$. Satu derajat $=\frac{1}{360}$ sudut satu putaran, atau dengan kata lain :
$$\text{Satu putaran}=360^\circ$$
Sedangkan satu radian $=\frac{180^\circ}{\pi}$ atau dengan kata lain:
$$\pi\space\text{radian}=180^\circ$$
Umumnya dalam pengukuran sudut yang dinyatakan dengan satuan radian hanya ditulis $\pi$ saja, misal $\alpha=\frac{1}{3}\pi$ radian $=\frac{1}{3}\pi=60^\circ$

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan segitiga berikut:

Pada segitiga tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut:

$\sin{A}=\frac{a}{c}$

$\cos{A}=\frac{b}{c}$

$\tan{A}=\frac{a}{b}$

$\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{c}{a}$

$\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{c}{b}$

$\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}$

Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini nilai trigonometri sudut-sudut istimewa pada kuadran I:

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$
$\csc \alpha$	$-$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$1$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$-$
$\cot \alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$0$

Identitas Trigonomteri

Berdasarkan definisi trigonometri, dapat diperoleh rumus-rumus identitas trigonometri sebagai berikut:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$\sec \alpha =\frac {1}{\cos \alpha}$

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$

$\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$\tan ^2 \alpha +1=\sec^2 \alpha$

$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$

Sudut-sudut Berelasi

Rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri
Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. ganjil	Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. genap
$\sin (90^\circ -\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ -\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (90^\circ +\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ +\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$ $\sin (270^\circ -\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ -\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (270^\circ +\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ +\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$	$\sin (180^\circ - \alpha)=\sin \alpha$ $\cos (180^\circ - \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ - \alpha)=-\tan\alpha$ $\sin (180^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (180^\circ + \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ + \alpha)=\tan\alpha$ $\sin (360^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$ $\tan (360^\circ + \alpha)=-\tan\alpha$
Pola
$\sin \Rightarrow \cos$ $\cos \Rightarrow \sin$ $\tan \Rightarrow \cot$	$\sin \Rightarrow \sin$ $\cos \Rightarrow \cos$ $\tan \Rightarrow \tan$
Tanda $+$ dan $-$ berdasarkan letak kuadrannya

Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut

Berikut ini rumus-rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan sudut:

$\sin {(A+B)}=\sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin {(A-B)}=\sin A \cos B - \cos A \sin B$

$cos {(A+B)}=\cos A \cos B -\sin A \sin B$

$\cos {(A-B)}=\cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\tan (A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B}$

$\tan (A-B)=\frac{\tan A -\tan B}{1+\tan A \tan B}$

Trigonometri Sudut Rangkap Dua

Sudut rangkap merupakan penjumlahan dua sudut yang sama, misalnya $2A=A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap dua diberikan sebagai berikut:

$\sin 2A=2 \sin A \cos A$

$\begin{align*}\cos 2A&=\cos^2A-\sin^2 A\\&=2\cos^2A-1\\&=1-2\sin^2A\end{align*}$

$\begin{align*}\tan 2A&=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}\\&=\frac{2\cot{A}}{\cot^2{A}-1}\\&=\frac{2}{\cot{A}-\tan{A}}\end{align*}$

Trigonometri Sudut Rangkap Tiga

Sudut rangkap merupakan penjumlahan tiga sudut yang sama, misalnya $3A=A+A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap tiga diberikan sebagai berikut:

$\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}$

$\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}$

Rumus Setengah Sudut

Berikut ini rumus trigonometri setengah sudut:
$\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}$

$\cos{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}$

$\begin{align*}\tan{\frac{1}{2}A}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}\\&=\frac{\sin{A}}{1+\cos{A}}\\&=\frac{1-\cos{A}}{\sin{A}}\end{align*}$

Rumus-rumus Penjumlahan Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus penjumlahan dalam trigonometri:

$\sin A +\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\sin A -\sin B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

Rumus-rumus Perkalian Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus perkalian dalam trigonometri:

$2\sin{A}\cos{A}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}$

$-2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}$

Persamaan Trigonometri

Berikut ini bentuk persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Dalam suatu segitiga sembarang dapat dirumuskan beberapa aturan trigonometri, aturan tersebut berkaitan dengan panjang sisi dan besar sudut segitiga. berikut ini disajikan rumusan beberapa aturan tersebut:

1. Aturan sinus
Pada segitiga $ABC$ berlaku:
$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$

2. Aturan cosinus
pada segitiga $ABC$ berlaku:
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac \cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

3. Luas segitiga
Luas segitiga $ABC$:
$L=\frac{1}{2}bc \sin A$
$L=\frac{1}{2}ab \sin C$
$L=\frac{1}{2}ac \sin B$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 Agustus 2017